在△ABC中,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊,我們稱關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx-c=0為“△ABC的☆方程”.根據(jù)規(guī)定解答下列問(wèn)題:
(1)“△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0的根的情況是
(填序號(hào)):①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;③沒(méi)有實(shí)數(shù)根;
(2)如圖,AD為⊙O的直徑,BC為弦,BC⊥AD于E,∠DBC=30°,求“△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0的解;
(3)若x=
14
c
是“△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0的一個(gè)根,其中a,b,c均為整數(shù),且ac-4b<0,求方程的另一個(gè)根.
分析:(1)利用三角形各邊大于0,再利用△=b2+4ac>0,得出答案即可;
(2)利用等邊三角形的判定得出△ABC是等邊三角形,進(jìn)而得出a=b=c,求出方程的根即可;
(3)將x=
1
4
c代入☆方程中可得:
ac2
16
+
bc
4
-c=0,進(jìn)而化簡(jiǎn)得出ac+4b-16=0,結(jié)合ac-4b<0,可得出0<ac<8,進(jìn)而求出a,b,c的值求出方程的根即可.
解答:解:(1)∵在△ABC中,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊,關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx-c=0為“△ABC的☆方程”,
∴a>0,b>0,c>0,
∴△=b2+4ac>0,
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
故答案為:②;

(2)∵AD為⊙O的直徑,
∴∠DBA=90°,
∵∠DBC=30°,
∴∠CBA=60°,
∵BC⊥AD于E,∠DBC=30°,
∴∠BDA=60°,
∴∠C=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴a=b=c,
∴“△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0可以變?yōu)椋篴x2+ax-a=0,
∵△=b2+4ac>0,
∴x=
-a±
a2+4a2
2a
=
-1±
5
2

即x1=
-1+
5
2
,x2=
-1-
5
2
;

(3)將x=
1
4
c代入☆方程中可得:
ac2
16
+
bc
4
-c=0,
方程兩邊同除以c可得:
ac
16
+
b
4
-1=0,
化簡(jiǎn)可得:ac+4b-16=0,
結(jié)合ac-4b<0,可得出0<ac<8,
由ac+4b=16,可知ac需能被4整除,又0<ac<8;
∴ac=4,從而b=3,
又因?yàn)閍,c為正整數(shù),則a=1,c=4(不能構(gòu)成三角形,舍去)或者a=c=2,
所以☆方程為2x2+3x-2=0,
解得:x1=
1
2
,x2=-2.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的解法和等邊三角形的判定等知識(shí),注意利用ac-4b<0,ac+4b-16=0得出a,c的值是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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23、如圖,在△ABC中,CD⊥AB,垂足為D,點(diǎn)E在BC上,EF⊥AB,垂足為F.
(1)CD與EF平行嗎?為什么?
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度數(shù).

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在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE.
精英家教網(wǎng)
(1)如圖1.連接BE、CD,BE與CD交于點(diǎn)O,
①證明:DC=BE;
②∠BOC=
 
°. (直接填答案)
(2)如圖2,連接DE,交AB于點(diǎn)F.DF與EF相等嗎?證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

18、如圖,在△ABC中,邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E、已知△ABC中與△ABD的周長(zhǎng)分別為18cm和12cm,則線段AE的長(zhǎng)等于
3
cm.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,∠C=90°,BC=12,AB=13,則tanA的值是( 。
A、
5
12
B、
12
5
C、
12
13
D、
5
13

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a=
2
,b=
6
,c=2
2
,則最大邊上的中線長(zhǎng)為( 。
A、
2
B、
3
C、2
D、以上都不對(duì)

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