Question

已知直線y=-x+6和反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）．
（1）k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系xOy中的圖象有兩個公共點？
（2）設(shè)（1）的兩個公共點分別為A、B，∠AOB是銳角還是鈍角？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)比例系數(shù)符號相同或組成方程組整理后的一元二次方程的判別式大于0時，兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系xOy中的圖象有兩個公共點；
（2）結(jié)合（1）中k的取值范圍，分情況探討∠AOB是銳角還是鈍角．

解答：解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)比例系數(shù)符號相同，即k＜0時，這兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系xOy中的圖象有兩個公共點；
②解方程組

y=-x+6 y= k x

，
整理得：x²-6x+k=0，
∵它們有兩個公共點，
∴36-4k＞0，
解得k＜9，在第一，三象限，
∴0＜k＜9．
故當(dāng)0＜k＜9或k＜0時，這兩個函數(shù)在同一坐標(biāo)系xOy中的圖象有兩個公共點；

（2）①當(dāng)k＜0時，如圖1，點A、點B分別在第二、四象限，連接OA、OB，可知∠AOB＞∠xoy=90°，故∠AOB為鈍角；

②當(dāng)0＜k＜9時，如圖2，點A、點B都在第一象限，連接OA、OB，可知∠AOB＜∠xOy=90°，故∠AOB為銳角．

點評：一次函數(shù)和反比例函數(shù)有兩個交點時，這兩個交點可能在兩個不同的象限內(nèi)，也可能在同一個象限內(nèi)．