Question

設(shè)a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²（n為大于0的自然數(shù)）．
（1）探究a_n是否為8的倍數(shù)，并用文字表述出你所獲得的結(jié)論；
（2）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方數(shù)”．試寫出a₁，a₂，a₃，…，a_n，這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)“完全平方數(shù)”．

Answer 1

分析：（1）將a_n的表達(dá)式根據(jù)平方差公式計(jì)算出來(lái)，看是否是8的倍數(shù)．
（2）

an

=

8n

=2

2n

，根據(jù)該式依次列出所需的完全平方數(shù)即可．

解答：解：（1）根據(jù)平方差公式計(jì)算a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=8n，
故a_n是8的倍數(shù)．

（2）設(shè)a=2b（b為大于0的自然數(shù)）
則

an

=

8n

=2

2n

，所以當(dāng)n分別取2、8、18、32時(shí)得到一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)“完全平方數(shù)”．
n=2時(shí)，a_n=16，
n=8時(shí)，a_n=64，
n=18時(shí)，a_n=144，
n=32時(shí)，a_n=256，
所以列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)“完全平方數(shù)”為16、64、144、256．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平方差公式的應(yīng)用，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．