Question

如圖，AB為⊙O的直徑，割線PCD交⊙O于C、D，∠PAC=∠PDA．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的長．

Answer 1

（1）證明：連接BD；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°；
∵∠PAC=∠PDA，∠CAB=∠CDB，
∴∠PAC+∠CAB=∠PDA+∠CDB=∠BDA=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA是⊙O的切線．

（2）解：設PC=a；
∵CD=3PC，
∴CD=3a；
∵PA是⊙O的切線，PCD是割線，
∴PA²=PC•PD，
即6²=a•（a+3a），
解得a=3，
PD=PC+CD=a+3a=4a，
∴PD=12．
分析：要證明PA是⊙O的切線只要證明∠PAB=90°即可；已知PA是⊙O的切線，PCD是割線，則可以利用切割線定理來求得PD的長．
點評：此題考查學生對切線的判定及切割線定理的掌握情況．會根據(jù)切割線定理作為相等關系列方程求線段的長度是解題的關鍵．