Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F(xiàn)，交AD，BC于點M，N．下列結(jié)論：①△APE≌△AME；②PE²+PF²=PO²；③△POF∽△BNF；④當(dāng)△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．其中正確的結(jié)論有

①②④

（填序號）

Answer 1

分析：依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中

∠BAC=∠DAC AE=AE ∠AEP=∠AEM

∴△APE≌△AME，∴①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠OEP=∠EOF=∠OFP=90°，
∴四邊形PEOF是矩形，
∴OE=PF，OF=PE，
在直角△OPF中，OE²+PE²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，∴②正確．
∵只有當(dāng)△OFP是等腰直角三角形時，才能和△BFN相似，∴③錯誤；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠PAE=∠MAE=45°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠AEM=90°，
∴∠AMP=∠APM=45°，
∴AM=AP，
∴△AMP是等腰直角三角形，
同理△BPN都是等腰直角三角形，
∴當(dāng)△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
∴AP=BP，即P時AB的中點，∴④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理的綜合應(yīng)用，認(rèn)識△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關(guān)鍵．