Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點(diǎn)，⊙O過點(diǎn)B且與AC相切于點(diǎn)D，DE⊥AB于E．
（1）求證：CD=DE；
（2）若AE：AC=1：2，AB=10，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD、BD，則OD∥BC利用平行線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角，即可證得∠2=∠3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證得；
（2）易證△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以得到：AD=

1

2

AB=

1

2

×10=5，BC=2DE，設(shè)DE=x，則DC=DE=x，BC=2x，AC=5+x，則在直角△ABC中，利用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，求得x的值．

解答：解：（1）連接OD、BD．
∵AC是圓的切線，
∴OD⊥AC，
∵DE⊥AB于E，
∴OD∥BC，
∴∠1=∠3，
∵OD=OB
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=DE．
（2）∵∠DEA=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

AD

AB

=

DE

BC

=

1

2

．
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×10=5，BC=2DE．
設(shè)DE=x，則DC=DE=x，BC=2x，AC=5+x．
在△ABC中，AB²=AC²+BC²．
則100=（5+x）²+（2x）²，
解得：x=3，
DE的長(zhǎng)為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理把求線段的長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．