Question

已知二次函數(shù)y=x²-2bx+b²+c的圖象與直線y=1-x只有一個(gè)公共點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖象上，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵二次函數(shù)y=x²-2bx+b²+c①的圖象與直線y=1-x②只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴由①②組成的方程組只有一組解，把②代入①，整理得，x²+（1-2b）x+b²+c-1=0，
∴△=0，即（1-2b）²-4（b²+c-1）=0，得4b+4c=5③，
又∵二次函數(shù)y=x²-2bx+b²+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c），而頂點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖象上，
∴c=ab²④，
由③④得，4ab²+4b-5=0，（a≠0）
∴△≥0，即16+4×4a×5≥0，解得a≥-，
所以a的取值范圍為a≥-，且a≠0．
分析：根據(jù)題意y=x²-2bx+b²+c，y=1-x，組成的方程組只有一組解，消去y得到關(guān)于x的方程：x²+（1-2b）x+b²+c-1=0，并且△=0，即（1-2b）²-4（b²+c-1）=0，得4b+4c=5；又二次函數(shù)y=x²-2bx+b²+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c），而頂點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖象上，得到c=ab²，消去c得到關(guān)于b的方程：4ab²+4b-5=0，（a≠0），于是△≥0，即16+4×4a×5≥0，解不等式即可得到a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖象交點(diǎn)的情況由它們的解析式組成的方程組的解的情況決定，再轉(zhuǎn)化為由一元二次方程根的判別式來(lái)決定．也考查了拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法．