Question

如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，∠C=90°，E在AB邊上，以AE為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）已知∠B=30°，AD的弦心距為1，求AF的長．

Answer 1

（1）證明：連結OD．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB．
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是圓O的切線；

（2）如圖，過圓心O作OE⊥AD于點E，則OE=1．
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
由（1）知，∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠DAB=30°．
在直角△AEO中，AE=OE•cot30°=，則根據垂徑定理知AD=2AE=2．
在直角△ACD中，CD=AD=AE=，AC=CD•cot30°=3，
∵CD是⊙O的切線，
∴CD²=CF•AC，則CF=1，
∴AF=AC-CF=2，即AF的長度是2．
分析：（1）如圖，連接OD．欲證明BC是⊙O的切線，只需證得OD⊥BC；
（2）如圖，過圓心O作OE⊥AD于點E，則OE=1．根據垂徑定理求得AD=2AE．通過解直角△ACD求得CD、AC的長度．然后利用切割線定理來求CF=1，則AF=AC-CF=2．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．