Question

△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．長為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點A重合）．過M，N分別作AB的垂線交直角邊于P，Q兩點，線段MN運動的時間為ts．
（1）若△AMP的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關系式（寫出自變量t的取值范圍）；
（2）線段MN運動過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時t的值；若不可能，說明理由；
（3）t為何值時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）分兩種情況，點P可以在AC上時和當點P在BC上時，利用三角函數(shù)分別用含t的代數(shù)式表示出PM，AM，再用S_△APM=

1

2

AM•PM得出y與t的函數(shù)關系式，
（2）當PM=QN時，四邊形MNQP為矩形，建立含t的方程，求得t的值，
（3）以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況，△PQC∽△ABC時和△QPC∽△ABC，分別相似三角形的判定和性質，求得相對應的t的值．

解答：解：（1）當點P在AC上時，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°=

3

t．
∴y=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²（0≤t≤1）．
當點P在BC上時，PM=BM•tan30°=

3

3

（4-t）．
y=

1

2

t•

3

3

（4-t）=-

3

6

t²+

2 3

3

t（1≤t≤3）．

（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB-AM-MN=4-t-1=3-t．
∴QN=BN•tan30°=

3

3

（3-t）．
由條件知，若四邊形MNQP為矩形，需PM=QN，即

3

t=

3

3

（3-t），
∴t=

3

4

．∴當t=

3

4

s時，四邊形MNQP為矩形．

（3）由（2）知，當t=

3

4

s時，四邊形MNQP為矩形，此時PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
除此之外，當∠CPQ=∠B=30°時，△QPC∽△ABC，此時

CQ

CP

=tan30°=

3

3

．
∵

AM

AP

=cos60°=

1

2

，
∴AP=2AM=2t．
∴CP=2-2t．
∵

BN

BQ

=cos30°=

3

2

，
∴BQ=

BN

3 2

=

2 3

3

（3-t）．
又∵BC=2

3

，
∴CQ=2

3

-

2 3

3

(3-t)=

2 3 t

3

．
∴

2 3 t 3

2-2t

=

3

3

，t=

1

2

．
∴當t=

1

2

s或

3

4

s時，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題利用了銳角三角函數(shù)的概念，相似三角形的判定和性質，矩形的性質，三角形的面積公式求解，運用了數(shù)形結合的思想來解決圖形變化的問題．