Question

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥DC， AD⊥DB，AD=DC=CB，

AB=4．以AB所在直線為軸，過D且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

1.（1）求∠DAB的度數(shù)及A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

2.（2）求過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及其

對稱軸L．

3.（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點(diǎn)，那么使

PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有幾個(gè)?

（不必求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需說出個(gè)數(shù)即可）

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1） ∵DC∥AB，AD=DC=CB，

∴ ∠CDB=∠CBD=∠DBA，

        ∠DAB=∠CBA，

 ∴∠DAB=2∠DBA，

∵∠DAB+∠DBA=90，

 ∴∠DAB=60  …………3分

   ∵∠DBA=30， AB=4，

 ∴DC=AD=2，

Rt△AOD，OA=1，OD=，

∴A（-1，0），D（0，），C（2，）．

2.（2）由已知得，滿足條件的拋物線必過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），D（0， ）

故可設(shè)所求為  =x²+bx+c    ……………6分

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得 , 解得，

所求拋物線的解析式為  =    ……………9分

其對稱軸L為直線=1．

3.（3）使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有5個(gè)．…………12分

 PDB為等腰三角形，有以下三種情況：

①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個(gè)交點(diǎn)P₁，P₁D=P₁B，

P₁DB為等腰三角形；

②因?yàn)橐訢為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個(gè)交點(diǎn)P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB為等腰三角形；

③與②同理，L上也有兩個(gè)點(diǎn)P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅．

由于以上各點(diǎn)互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有5個(gè)

【解析】略