Question

如圖所示：拋物線y=x²-2x-3交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，D是拋物線的頂點(diǎn)，M在對(duì)稱(chēng)軸上，P在坐標(biāo)軸上．以下結(jié)論：
①存在點(diǎn)M，使△AMC是等腰直角三角形；
②AM+CM的最小值是3；
③AM-CM的最大值是；
④若△APC與△BCD相似，則P的坐標(biāo)恰有兩個(gè)．
其中正確的是________（只填序號(hào)）

Answer 1

①②③
分析：先根據(jù)拋物線的解析式確定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-3），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；由于△AMC為等腰直角三角形，易得△AMF≌△MCE，則FM=CE=1，可得到M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）；由于點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)M點(diǎn)在M₁的位置時(shí)，AM+CM有最小值，最小值為BC的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可計(jì)算BC=3；由于三角形任意兩邊之差小于第三邊，則當(dāng)M點(diǎn)在M₂的位置時(shí)，AM+CM有最大值，最大值為AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=；根據(jù)勾股定理的逆定理可得到∠BCD=90°，若△APC與△BCD相似，則△APC為直角三角形，當(dāng)∠AP₁C=90°時(shí)，根據(jù)OA：CD=OC：BC=1：，可得到Rt△P₁AC∽R(shí)t△CDB，則P₁（0，0）滿足條件；當(dāng)∠P₂AC=90°時(shí)，由于Rt△CAP₂∽R(shí)t△COA，則Rt△AP₂C∽R(shí)t△CDB，可得到P₂（0，）滿足條件；當(dāng)∠P₃CA=90°時(shí)，由于Rt△CAP₃∽R(shí)t△OAC得到Rt△AP₂C∽R(shí)t△CDB，則有P₃（9，0）滿足條件．
解答：令y=0，則x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3令x=0，y=-3
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-3），
∵y=（x-1）²-4，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
（1）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），作CE⊥直線x=1，直線x=1與x軸交于F點(diǎn)，如圖，
當(dāng)△AMC為等腰直角三角形時(shí)，則△AMF≌△MCE，
∴FM=CE=1，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），所以①正確；
（2）點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，BC與直線x=1的交點(diǎn)為M₁，
當(dāng)M點(diǎn)在M₁的位置時(shí)，AM+CM有最小值，最小值為BC的長(zhǎng)，即3，所以②正確；
（3）延長(zhǎng)AC交直線x=1于M₂，
當(dāng)M點(diǎn)在M₂的位置時(shí)，AM+CM有最大值，最大值為AC的長(zhǎng)，即=，所以③正確；
（4）∵BC=3，BD=2，CD=，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
當(dāng)P點(diǎn)在原點(diǎn)，即P₁的位置時(shí)，OA：CD=OC：BC=1：，
∴Rt△P₁AC∽R(shí)t△CDB，
∴P₁（0，0）滿足條件；
當(dāng)∠P₂AC=90°時(shí)，
∵Rt△CAP₂∽R(shí)t△COA，OP₂=OA=，
∴Rt△AP₂C∽R(shí)t△CDB，
∴P₂（0，）滿足條件；
當(dāng)∠P₃CA=90°時(shí)，
∵Rt△CAP₃∽R(shí)t△OAC，OP₃=3OC=9，
∴Rt△AP₂C∽R(shí)t△CDB，
∴P₃（9，0）滿足條件；所以④錯(cuò)誤．
故答案為①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先根據(jù)拋物線的解析式確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理計(jì)算出相關(guān)線段的長(zhǎng)，然后運(yùn)用對(duì)稱(chēng)、三角形相似的判定與性質(zhì)解決問(wèn)題．