Question

已知n，k均為自然數(shù)，且滿足不等式

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

．若對于某一給定的自然數(shù)n，只有唯一的自然數(shù)k使不等式成立，求所有符合要求的自然數(shù)n中的最大數(shù)和最小數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)最值問題

專題：

分析：由題意可得：

11

6

＜

n+k

n

＜

13

7

，整理得：

5

6

＜

k

n

＜

6

7

 ①，也可得

5n

6

＜k＜

6n

7

 ②，根據(jù)對于某一給定的自然數(shù)n，k的值只有一個，可得出n的最大值，再由①可得n＞7，然后依次試驗n=8、9、10…，即可得出n的最小值．

解答：解：∵

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，
∴

11

6

＜

n+k

n

＜

13

7

，
∴

5

6

＜

k

n

＜

6

7

 ①，
∴

5n

6

＜k＜

6n

7

 ②，
∵k為自然數(shù)，且對于給定n來說k的值只有一個，
∴

6

7

n-

5

6

n≤2，即

n

42

≤2，
∴n≤84，
當(dāng)n=84時，代入②有：70＜k＜72，只能取得唯一一個k=71，
∴n的最大值為84；
又根據(jù)①式，

5

6

＜

k

n

＜

6

7

，顯然n＞7，
當(dāng)n取8時，6

2

3

＜k＜6

6

7

，沒有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取9時，7

1

2

＜k＜7

5

7

，沒有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取10時，8

1

3

＜k＜8

4

7

，沒有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取11時，9

1

6

＜k＜9

3

7

，沒有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取12時，10＜k＜10

2

7

，沒有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取13時，10

5

6

＜k＜11

1

7

，k=11，
∴n=13為符合條件的最小值．
綜上可得：n的最大值為84，n的最小值為13．

點評：本題考查了函數(shù)的最值問題，解答此類提競賽類題目，關(guān)鍵是靈活變通，本題的靈活之處在與由

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

得出

11

6

＜

n+k

n

＜

13

7

，難度較大．