Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．如果這個(gè)梯形的周長(zhǎng)為30，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

6
分析：由梯形ABCD中，AD與BC平行，AB=DC，得到此梯形為等腰梯形，進(jìn)而得到同一底上的兩個(gè)角相等，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由∠C的度數(shù)，求出∠ADC，∠A及∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)BD為角平分線，得到∠ABD=∠CBD，又因?yàn)锳D平行于BC，得到內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換可得∠ABD=∠ADB，利用等邊對(duì)等角可得AB=AD，同時(shí)求出∠DBC的度數(shù)，在三角形BDC中，由∠DBC及∠C的度數(shù)求出∠BDC為直角，在直角三角形中，∠DBC=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得出BC=2CD，設(shè)AB=x，可表示出AD，DC，及BC，進(jìn)而由周長(zhǎng)為30列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為AB的長(zhǎng)．
解答：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴ABCD為等腰梯形，
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°，∠ADB=∠DBC，
∵∠C=60°，
∴∠ADC=∠A=120°，∠ABC=∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=90°，
設(shè)AB=AD=CD=x，
在直角三角形BDC中，∠CBD=30°，
∴BC=2DC=2x，
又∵梯形的周長(zhǎng)為30，
∴AB+AD+CD+BC=x+x+x+2x=5x=30，
解得：x=6，
則AB=6．
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，角平分線定義，以及含30°角直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABD為等腰三角形及△BDC為直角三角形是解本題的關(guān)鍵．