Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=4．E是直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BE交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F．連接BF．
（1）若點(diǎn)E是線(xiàn)段AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、D不重合），（如圖1所示）
①求證：BE=EF．
②設(shè)DE=x，△BEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出此函數(shù)的定義域．
（2）直線(xiàn)AD上是否存在一點(diǎn)E，使△BEF是△ABE面積的3倍？若存在，直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①證明：在AB上截取AG=AE，連接EG．通過(guò)ASA證明△BGE≌△EDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE=EF；
②先在Rt△ABE中運(yùn)用勾股定理求出BE²=AE²+AB²=（4-x）²+4²，再根據(jù)三角形面積公式，可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）存在．分Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)；Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)；Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段DA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)；三種情況討論即可求解．

解答：（1）①證明：如圖1，在AB上截取AG=AE，連接EG，則∠AGE=∠AEG．
∵∠A=90°，∠A+∠AGE+∠AEG=180°，
∴∠AGE=45°．
∴∠BGE=135°．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°．
又∵∠C=45°，
∴∠D=135°，
∴∠BGE=∠D．
∵AB=AD，AG=AE，
∴BG=DE．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°，
∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
∠A=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△BGE與△EDF中，

∠BGE=∠D BG=DE ∠ABE=∠DEF

，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF；

②解：在Rt△ABE中，∵∠A=90°，AB=AD=4，DE=x，
∴BE²=AE²+AB²=（4-x）²+4²，
∵BE=EF，
∴y=

1

2

BE•EF=

1

2

BE²=

1

2

×[（4-x）²+4²]=

x2-8x+32

2

，
故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=

x2-8x+32

2

，
此函數(shù)的定義域?yàn)椋?＜x＜4；

（2）解：直線(xiàn)AD上存在一點(diǎn)E，能夠使△BEF是△ABE面積的3倍．理由如下：
分三種情況：
Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，如圖1．
∵S_△ABE=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×（4-x）=8-2x，S_△BEF=

x2-8x+32

2

，
∴

x2-8x+32

2

=3×（8-2x），
整理，得x²+4x-16=0，
解得x=-2±2

5

（負(fù)值舍去），
則DE=-2+2

5

；
Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，延長(zhǎng)AB到G，使BG=DE，連接EG，則△AGE為等腰直角三角形．
∵AE∥BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∴∠EBC+90°=∠AEB+90°，即∠GBE=∠DEF．
在△BGE與△EDF中，

∠G=∠EDF=45° BG=DE ∠GBE=∠DEF

，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
∵S_△ABE=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×（4+x）=8+2x，S_△BEF=

1

2

BE²=

1

2

×[（4+x）²+4²]=

x2+8x+32

2

，
∴

x2+8x+32

2

=3×（8+2x），
整理，得x²-4x-16=0，
解得x=2±2

5

（負(fù)值舍去），
則DE=2+2

5

；
Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段DA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BA到G，使BG=DE，連接EG，則△AGE為等腰直角三角形．
在△BGE與△EDF中，

∠G=∠EDF=45° BG=DE ∠GBE=∠DEF

，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF．
∵S_△ABE=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×（x-4）=2x-8，S_△BEF=

1

2

BE²=

1

2

×[（x-4）²+4²]=

x2-8x+32

2

，
∴

x2-8x+32

2

=3×（2x-8），
整理，得x²-20x+80=0，
解得x=10±2

5

，
則DE=10±2

5

；
綜上所述，直線(xiàn)AD上存在點(diǎn)E，使△BEF是△ABE面積的3倍，此時(shí)DE的長(zhǎng)為2

5

-2或2

5

+2或10±2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．