Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，延長CA到D，使AD=AB，連接BD．
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）求tanD的值；
（3）利用上面的結(jié)果計算：tan22.5°•cos45°+

(sin45°-tan22.5°)2

．

Answer 1

考點：解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）先判斷△ACB為等腰直角三角形，則∠BAC=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AD得∠D=∠ABD，在利用三角形外角性質(zhì)可計算出∠D=

1

2

∠BAC=22.5°；
（2）由于△ACB為等腰直角三角形，則AB=

2

AC=

2

a，所以AD=

2

a，則CD=DA+AC=（

2

+1）a，然后在Rt△BDC中利用正切的定義求解；
（3）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡得到原式=tan22.5°•cos45°+|sin45°-tan22.5°|，再把（2）中的計算結(jié)果和45°的正余弦值代入進(jìn)行計算即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=BC=a，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
而∠BAC=∠D+∠ABD，
∴∠D=

1

2

∠BAC=22.5°；
（2）∵△ACB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

AC=

2

a，
∴AD=

2

a，
∴CD=DA+AC=（

2

+1）a，
在Rt△BDC中，tanD=

BC

DC

=

a

( 2 +1)a

=

2

-1；
（3）原式=tan22.5°•cos45°+|sin45°-tan22.5°|
=（

2

-1）•

2

2

+|

2

2

-（

2

-1）|
=1-

2

2

+1-

2

2

=2-

2

．

點評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．