Question

如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線AD與三角形的外接圓交于點D，AC、BD相交于點P．
求證：（1）△DBC為等腰三角形；
（2）AB：BD=PB：PC．

Answer 1

證明：（1）∵AD是∠EAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD是圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角，
∴∠EAD=∠DCB（圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角），
又∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴△DBC為等腰三角形．

（2）在△ABP和△DCP中，
∵∠BAP=∠CDP，∠APB=∠DPC，
∴△ABP∽△DCP，
∴AB：DC=PB：PC，
∵△DBC為等腰三角形，
∴BD=DC，
∴AB：BD=PB：PC．
分析：（1）欲證△DBC為等腰三角形，需證∠DCB=∠DBC，根據(jù)圓周角定理可證∠DAC=∠DBC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證∠EAD=∠DCB，又已知∠EAD=∠DAC，即∠DCB=∠DBC得證．
（2）根據(jù)相似三角形的判定，由∠BAP=∠CDP，∠APB=∠DPC，可證△ABP∽△DCP，得到AB：DC=PB：PC，又由（1）知BD=DC可證AB：BD=PB：PC．
點評：本題考查了圓周角定理，內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中．