Question

已知直線l₁經(jīng)過點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），直線l₃∥l₁，且過直線l₂與y軸的交點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)A，已知直線l₂：y=-x+6．
（1）畫出直線l₃的位置，求出直線l₁、l₃的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P（x，y）是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，△OPA的面積為S，求：
①S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②請(qǐng)求出S的最大值或最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，用代入法求出直線l₁、l₃的解析式的表達(dá)式．因?yàn)閘₃交x軸于點(diǎn)A，根據(jù)坐標(biāo)系的特征，求出A的坐標(biāo)．
（2）①因?yàn)镺A=3，P（x，y）是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，所以y_p=2x+6＞0，自變量x的取值范圍是-3≤x≤0．根據(jù)三角形面積公式確定S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
②根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)與自變量x的取值范圍，確定最大值和最小值．

解答：解：（1）直線l₁經(jīng)過點(diǎn)（3，5）與（-4，-9），設(shè)直線l₁：y=k₁x+b₁．
由

3k1+b1=5 -4k1+b1=-9

得

k1=2 b1=-1

，
∴直線l₁：y=2x-1．（1分）
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+6=6，
∴B（0，6）．
∵直線l₃∥l₁，
∴設(shè)直線l₃y=2x+b₃；
且l₃過直線l₂與y軸的交點(diǎn)B（0，6），
∴直線l₃：y=2x+6，如圖．
由2x+6=0得x=-3，
∴A（-3，0）；

（2）①由A（-3，0）知OA=3．
∵點(diǎn)P（x，y）是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴y_p=2x+6＞0，自變量x的取值范圍是-3≤x≤0．
∴S=

1

2

OA•yp=

1

2

×3(2x+6)=3x+9，
∴S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=3x+9；

②由S=3x+9知3＞0，∴y隨x的增大而增大
又-3≤x≤0，
∴x=0時(shí)，S有最大值9．
當(dāng)x=-3時(shí)，S有最小值時(shí)0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用代入法求出直線的解析式和根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)與自變量x的取值范圍，確定最大值和最小值．