Question

如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱(chēng)軸x=2 與x軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)y=-2x-1經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)B(-2,m)，且與y軸、直線(xiàn)x=2分別交于點(diǎn)D、E.

（1）求m的值及該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求證：① CB=CE ；② D是BE的中點(diǎn)；

（3）若P(x，y)是該拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE,若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

  

Answer 1

（1）∵ 點(diǎn)B(-2,m)在直線(xiàn)y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3.                 

∴ B(-2,3)

∵ 拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對(duì)稱(chēng)軸為x=2，

∴ 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0) ．             

設(shè)所求的拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4). 

將點(diǎn)B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，即. （5分）

   （2）①直線(xiàn)y=-2x-1與y軸、直線(xiàn)x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(0,-1) E(2,-5).

          過(guò)點(diǎn)B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線(xiàn)x=2交于G，

          則BG⊥直線(xiàn)x=2，BG=4.

     在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5. 

②過(guò)點(diǎn)E作EH∥x軸，交y軸于H，

則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(0,-5).

又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

          ∴ △DFB≌△DHE （SAS），

∴ BD=DE.

即D是BE的中點(diǎn).                 

   （3）  存在.                          

          由于PB=PE，∴ 點(diǎn)P在直線(xiàn)CD上，

∴ 符合條件的點(diǎn)P是直線(xiàn)CD與該拋物線(xiàn)的交點(diǎn).

          設(shè)直線(xiàn)CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.

          將D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得  .

          ∴ 直線(xiàn)CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x-1

∵ 動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為)，

∴.   x－1=               

解得 ，.    ∴ ，.

∴ 符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，).