(2004•南京)我們知道:如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形,而且每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),那么這兩個(gè)三角形叫做位似三角形,它們的相似比又稱為位似比,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.利用三角形的位似可以將一個(gè)三角形縮小或放大.
(1)選擇:如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn),則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形.此時(shí),△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為______;
(A)2、點(diǎn)P,(B)、點(diǎn)P,( C)2、點(diǎn)O,(D)、點(diǎn)O;
(2)如圖2,用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形.閱讀后證明相應(yīng)問題.
畫法:
①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上;
②連接OE并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)E′,過點(diǎn)E′作E′C′∥EC,交OA于點(diǎn)C′,作E′D′∥ED,交OB于點(diǎn)D′;
③連接C′D′,則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.
求證:△C′D′E′是等邊三角形.

【答案】分析:(1)根據(jù)中位線定理可知,△P′Q′R′∽△PQR,且相似比是1:2,所以位似比是1:2,位似中心為點(diǎn)O;
(2)根據(jù)作法可知:E′C′∥EC,E′D′∥ED,可證得△OCE∽△OC′E′,△ODE∽△OD′E′,根據(jù)相似可證的對(duì)應(yīng)邊的比相等,對(duì)應(yīng)角相等,即可根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比成比例且夾角相等的三角形相似,可證得△CDE∽△C′D′E′,即可得結(jié)果.
解答:(1)解:選擇D.
∵△P′Q′R′∽△PQR,且相似比是1:2,
∴位似比是1:2,位似中心為點(diǎn)O.
故選D;

(2)證明:∵E′C′∥EC,E′D′∥ED,
∴△OCE∽△OC′E′,△ODE∽△OD′E′
∴CE:C′E′=OE:OE′,DE:D′E′=OE:OE′,∠CEO=∠C′E′O,∠DEO=∠D′E′O
∴CE:C′E′=DE:D′E′,∠CED=∠C′E′D′
∴△CDE∽△C′D′E′
∵△CDE是等邊三角形,
∴△C′D′E′是等邊三角形.
點(diǎn)評(píng):此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力,考查了相似三角形的判定與性質(zhì),考查了位似圖形與相似圖形的關(guān)系:位似是相似的特殊形式.
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(2004•吉林)已知拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是,與y軸的交點(diǎn)是M(0,c).我們稱以M為頂點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L(zhǎng)的伴隨直線.
(1)請(qǐng)直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式:
伴隨拋物線的解析式 ______,伴隨直線的解析式 ______;
(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3,則這條拋物線的解析式是 ______;
(3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式;
(4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),且AB=CD.請(qǐng)求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.

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(1)請(qǐng)直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式:
伴隨拋物線的解析式 ______,伴隨直線的解析式 ______;
(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3,則這條拋物線的解析式是 ______;
(3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式;
(4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),且AB=CD.請(qǐng)求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.

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(1)選擇:如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn),則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形.此時(shí),△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為______;
(A)2、點(diǎn)P,(B)、點(diǎn)P,( C)2、點(diǎn)O,(D)、點(diǎn)O;
(2)如圖2,用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形.閱讀后證明相應(yīng)問題.
畫法:
①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上;
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(1)選擇:如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn),則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形.此時(shí),△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為______;
(A)2、點(diǎn)P,(B)、點(diǎn)P,( C)2、點(diǎn)O,(D)、點(diǎn)O;
(2)如圖2,用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形.閱讀后證明相應(yīng)問題.
畫法:
①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上;
②連接OE并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)E′,過點(diǎn)E′作E′C′∥EC,交OA于點(diǎn)C′,作E′D′∥ED,交OB于點(diǎn)D′;
③連接C′D′,則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.
求證:△C′D′E′是等邊三角形.

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