Question

如圖，已知⊙O₁和⊙O₂的半徑分別為R、r，連接O₁O₂交⊙O₁于點M、交⊙O₂于點N．將一個直角三角尺的直角頂點C放在直線O₁O₂的上方，讓兩個直角邊所在的直線分別經(jīng)過點M、N，CM交⊙O₁于點A，CN交⊙O₂于點B．
（1）求證：O₁A∥O₂B；
（2）直線AB和直線O₁O₂能否平行？若能夠，試指出什么條件下，AB∥O₁O₂；若不能，試說明理由．
（3）是否存在一點C，使CM•CA=CN•CB？若存在，請說明如何確定點C的位置，并證明你的結(jié)論；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接O₁A，O₂B，
∵O₁M=O₁A，
∴∠O₁AM=∠O₁MA，
同理∠O₂BN=∠O₂NB，
∵∠C=90°，
∴∠CMN+∠CNM=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠O₁MA=∠CMN，∠O₂NB=∠CNM，
∴∠O₁MA+∠O₂NB=90°，
∴∠O₁AM+∠O₂BN=90°，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AM+∠CAB+∠CBA+∠O₂BN=180°，
∴O₁A∥O₂B；


（2）由（1）知O₁A∥O₂B，若又有AB∥O₁O₂，
則四邊形O₁ABO₂為平行四邊形，
∴O₁A=O₂B，即R=r，
∴R=r時，AB∥O₁O₂；

（3）存在點C．
點C的位置可以這樣確定：
先作兩圓的外公切線AB，然后連接AM、BN交于點C，
理由如下：
∵AB切圓O₁于點A，切圓O₂于點B，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴∠O₁AM+∠CAB=∠O₁AB=90°O₁A∥O₂B，
∴∠O₁+∠O₂=180°，
又∠O₁MA+∠O₁AM+∠O₁=180°，∠O₂NB+∠O₂BN+∠O₂=180°，
∠O₁AM=∠O₁MA，∠O₂BN=∠O₂NB，
∴∠O₁MA+∠O₂NB=90°，
∵∠O₁MA=∠CMN，∠O₂NB=∠CNM，
∴∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠C=90°，
∵∠CMN=∠O₁MA=∠O₁AM，
而∠CMN+∠CNM=90°，∠O₁AM+∠CAB=90°，
∴∠CNM=∠CAB，
∴△CNM∽△CAB，
∴，
即CM•CA=CN•CB．
分析：（1）本題需先連接O₁A，O₂B，然后得出∠O₁AM=∠O₁MA和∠O₂BN=∠O₂NB，再根據(jù)∠O₁MA+∠O₂NB=90°，∠O₁AM+∠O₂BN=90°，證出∠O₁AB+∠O₂BA=180°，即可求出結(jié)果．
（2）本題需先證出四邊形O₁ABO₂為平行四邊形，得出R=r，即可求出結(jié)果．
（3）本題需先作兩圓的外公切線AB，然后連接AM、BN交于點C，然后進行證明，即可求出答案．
點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，在解題時要能根據(jù)題意作出輔助線，并靈活應用切線的性質(zhì)以及相似三角形和平行四邊形的有關(guān)知識進行證明是本題的關(guān)鍵．