Question

如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，且BC²=CE•CA，DE∥BC．
求證：（1）△ABC∽△BEC；
（2）BE²=BD•BA．

Answer 1

證明：（1）∵BC²=CE•CA，
∴=，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC；

（2）∵△ABC∽△BEC；
∴∠A=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠BED，
∴∠A=∠BED，
又∵∠ABE=∠EBD，
∴△ABE∽△EBD，
∴=，
∴BE²=BD•BA．
分析：（1）先把BC²=CE•CA轉化為比例式，又因為∠C=∠C，所以可判定△ABC∽△BEC；
（2）由（1）可得∠A=∠CBE，因為DE∥BC，所以可得∠CBE=∠BED，進而判定△ABE∽△EBD，問題得證．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，常用的相似判定方法有：平行線，AA，SAS，SSS；常用到的性質(zhì)：對應角相等；對應邊的比值相等；面積比等于相似比的平方．