Question

如圖⊙P的圓心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直線與⊙P切于C，若⊙P的半徑為r，⊙O的半徑為R. ⊙O和⊙P的面積比為9∶4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C、P、D三點共線

 

（1）求證：；

（2），求AE的長；

（3）連結(jié)PD，求sin∠PDA的值.

 

Answer 1

（1）見解析（2）7（3）

解析:（1）證明：連結(jié)CP，作⊙O的直徑AF，連結(jié)PF，則∠APF＝90°

∵AC切于⊙O于C

∴∠ACP=90°=∠APF

又∵∠PBC=∠BAP+∠BPA  （1分）

連結(jié)FB，則∠AFB=∠BPA，∠BFP=∠BAP

∴∠PBC=∠BAP+∠BPA=∠AFB+∠BFP=∠AFP   （2分）

（此處也可用圓內(nèi)接四邊形的定理求出）    

∴△APF∽△PCB

∴，∵AF=2R，PC=r, ∴,

∴   (4分)

（2）解：∵⊙O和⊙P的面積比為9：4

∴ R : r=3 :2      （5分）

∴

∴，即PC=4    （6分）

在Rt△APC 中    （7分）

連結(jié)CE，∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC

∴△AEC∽△ACD

∴，    （8分）

∴

∴          （9分）

∴或

∵線段長不為負數(shù)，∴      （10分）

（3）解：sin∠PDA=sin∠PFA=  （12分）

∵，R=

∴AF=12

∴sin∠PDA=           （14分）

本題綜合考查了相似三角形是判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)．

解第（1）、（2）問的解決運用了以下知識：切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，圓的內(nèi)接四

邊形的性質(zhì)．由此可以看出在兩圓的位置關(guān)系問題中，綜合知識的運用是至關(guān)重要的；第

（3）利用三角函數(shù)求解