Question

（2006•萊蕪）如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D，E在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)．設(shè)BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，當(dāng)α，β滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立？試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABD=∠ACE=105°，利用等量代換求得∠CAE=∠ADB，故△ADB∽△EAC后，得，即所以y=；
（2）要使y=，即成立，則要△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只須∠ADB=∠EAC，利用三角形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的概念求得∠EAC+∠BAD=β-α，∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-，所以只90°-=β-α，須即β-=90°．
解答：解：（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°，
∵∠DAE=105°，
∴∠DAB+∠CAE=75°，
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴
即，所以y=；

（2）當(dāng)α、β滿(mǎn)足關(guān)系式β-時(shí)，函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=成立，
理由如下：∵β-=90°，
∴β-α=90°-．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°--∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴，
∴，
∴y=．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角的概念，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．