Question

已知與是反比例函數圖象上的兩個點．

（1）求的值；

（2）若點，則在反比例函數圖象上是否存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由，得，因此．

（2）如圖1，作軸，為垂足，則，，，因此．

由于點與點的橫坐標相同，因此軸，從而．

當為底時，由于過點且平行于的直線與雙曲線只有一個公共點，

故不符題意．

當為底時，過點作的平行線，交雙曲線于點，

過點分別作軸，軸的平行線，交于點．

由于，設，則，，

由點，得點．

因此

解之得（舍去），因此點．

此時，與的長度不等，故四邊形是梯形．

如圖2，當為底時，過點作的平行線，與雙曲線在第一象限內的交點為．

由于，因此，從而．作軸，為垂足，

則，設，則，

由點，得點，

因此

解之得（舍去），因此點．

此時，與的長度不相等，故四邊形是梯形．

如圖3，當過點作的平行線，與雙曲線在第三象限內的交點為時，

同理可得，點，四邊形是梯形．

綜上所述，函數圖象上存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形，點的坐標為：或或．