Question

已知二次函數(shù)．

1.當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的增大而減小，求的取值范圍；

2.以拋物線的頂點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正（，兩點(diǎn)在拋物線上），請問：△的面積是與無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由；

3.若拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/2012071912184391939487/SYS201207191219357162106441_DA.files/image001.png">

所以拋物線的對稱軸為，                             ……………… 1分

因?yàn)橐��?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/2012071912184391939487/SYS201207191219357162106441_DA.files/image003.png">時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，

所以由圖像可知對稱軸應(yīng)在直線右側(cè)，從而m≥2.

2.（方法一）根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知軸，設(shè)拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)，則，設(shè)，∴，…………………  4分

又

     ，…………………  5分

∴，∴，…………………  6分

∴，，                 

∴定值；…………………7分

 

（方法二）由頂點(diǎn)以及對稱性，設(shè)，  …………………  4分

則M,N的坐標(biāo)分別為 ，  5分

因?yàn)镸，N兩點(diǎn)在拋物線上，

所以，              …………………  6分

即，解得，           

所以（與m無關(guān)）；

3.令，即時(shí)，              

 有，             …………………  9分

由題意，為完全平方數(shù)，令，    

即，  ∵為整數(shù)，∴的奇偶性相同，

∴或解得或

綜合得.

【解析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸求得

（2）根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知軸，設(shè)拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)，則，設(shè)，求得BM、AB的值，從而求得△的面積

（3）令，即時(shí)，有x= ,由題意，為完全平方數(shù)，令，即，解方程求值