Question

如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上與點B關于圓心O成中心對稱的點，P是BC邊上一點，連接AD、DC、AP．已知AB=8，CP=2，Q是線段AP上一動點，連接BQ并延長交四邊形ABCD的一邊于點R，且滿足AP=BR，則的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先證明四邊形ABCD是正方形，得出AD∥BC．根據題意，可知點R所在的位置可能有兩種情況：①點R在線段AD上；②點R在線段CD上．針對每一種情況，分別求出BQ：QR的值．
解答：解：∵△ABC內接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上與點B關于圓心O成中心對稱的點，
∴四邊形ABCD是正方形．
∴AD∥BC，
當AP=BR時，分兩種情況：
①點R在線段AD上，
∵AD∥BC，
∴∠ARB=∠PBR，∠RAQ=∠APB，
在△AQR與△PQB中，
∵，
∴△AQR≌△PQB，
∴BQ=QR
∴BQ：QR=1；
②點R在線段CD上，此時△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR．
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴BQ是直角△ABP斜邊上的高，
∴BQ===4.8，
∴QR=BR-BQ=10-4.8=5.2，
∴BQ：QR=4.8：5.2=．
故答案為：1或．
點評：本題綜合考查了平行線的判定，及正方形的判定，及全等的判定及性質．