Question

如圖，在△ABC中，點E是內(nèi)心，延長AE交△ABC的外接圓于點D，連接BD、CD、CE，且∠BDA=60°．
（1）求證：△BDE是等邊三角形．
（2）若∠BDC=120°，猜想四邊形BDCE是怎樣的四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

（1）證明：∵∠BCA和∠BDA都是弧AB所對的圓周角，
∴∠BCA=∠BDA=60°，
又∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵AE、BE分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，
∴∠BAE+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠BCA）÷2=60°，
∴∠BED=60°，
∴△BDE是等邊三角形．

（2）答：四邊形BDCE是菱形，
證明：∵∠BDC=120°，
由（1）得∠EDC=60°，
∵∠BED=60°，
同（1）得，可推出∠BEC=120°，
∴△DCE是等邊三角形，
∴CE=CD=DE，
由（1）得△BDE是等邊三角形，
∴BE=BD=DE，
∴CE=BE=BD=CD，
∴四邊形BDCE是菱形．
分析：（1）根據(jù)：∵∠BCA和∠BDA都是弧AB所對的圓周角，得到∠BCA=∠BDA=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)心，得出∠BAE+∠ABE=60°，推出∠BED=60°，即可推出答案；
（2）四邊形BDCE是菱形，理由是：由（1）得∠EDC=60°，推出∠BEC=120°，得到等邊△DCE，得出CE=CD=DE，進(jìn)一步推出CE=BE=BD=CD，即可推出答案．
點評：本題主要考查對菱形的判定，三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是證此題的關(guān)鍵．