Question

如圖Rt△ABC中有兩種作內(nèi)接正方形的方法．圖（1）作的內(nèi)接正方形面積為441，（2）中作的內(nèi)接正方形的面積為440，則AC+BC的值為

1. A.
   456
2. B.
   458
3. C.
   460
4. D.
   462

Answer 1

D
分析：設BC=a，AC=b，AB=c，先由正方形的性質(zhì)，可得：EF∥BC，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的對應邊成比例，可得21（a+b）=ab，然后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，用含a、b、c的代數(shù)式分別表示圖（1）與圖（2）中各個三角形的面積，根據(jù)△ABC的面積不變，列出方程，結(jié)合勾股定理，即可求得AC+BC的值．
解答：解：如圖，設BC=a，AC=b，AB=c．
在圖（1）中，∵四邊形EFCD是正方形，
∴EF∥BC，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴EF：BC=AF：AC，21：a=（b-21）：b，
∴a+b=ab．①
∵S_△AEF：S_△ABC=（EF：BC）²，即S_△AEF：ab=441：a²，
∴S_△AEF=，
同理，S_△BDE=．
在圖（2）中，∵四邊形MNPQ是正方形，
∴MQ∥AB，
∴RT△QCM∽Rt△ACB，
∴S_△QCM：S_△ACB=（QM：AB）²，即S_△QCM：ab=440：c²，
∴S_△QCM=，
同理，易求S_△APQ=，S_△BMN=，
∵S_△AEF+S_△BDE+S_{正方形CDEF}=S_△APQ+S_△CMQ+S_△BMN+S_{正方形MNPQ}=S_△ABC，
∴++441=+++440，
∴++1=，
∴（a+b）²=，
將①代入上式，整理得c²=440×441．
∵（a+b）²=a²+b²+2ab=440×441+42（a+b），
∴（a+b）²-42（a+b）-440×441=0，
解得：a+b=462（另一個解-420舍去），
∴AC+BC=462．
故選D．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，解題時要注意合理應用數(shù)形結(jié)合與方程思想．