Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于E點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥BD于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥BD于T點(diǎn)，下列結(jié)論：
①BE=2CD；②∠ADB=45°；③點(diǎn)E為TD中點(diǎn)；④AT+TE=BE，
其中正確的結(jié)論是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ②③④

Answer 1

C
分析：作BE的中點(diǎn)F，連接AF、AD，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出AF=BF=EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABF=∠DBC=22.5°，從而可以得出∠BAF=∠TAE=∠ACD=22.5°，∠AFT=45°，就有AT=TF，就可以得出④正確，由∠BAC=90°，∠BDC=90°就可以得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，求出AD=DC，證△ADC≌△AFB推出BF=CD，求出∠AFD=45°，∠FAD=90°即可求出∠ADB=45°，推出△DCE∽△TAE和AE≠CE即可推出DE≠ET，根據(jù)AT=TF推出AT+TE=EF，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．
解答：
解：取BE的中點(diǎn)F，連接AF、AD，
∵∠BAC=90°，
∴AF=BF=EF=BE，
∴∠BAF=∠ABF，
∵等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBD=∠ABC=22.5°，
∴∠BAF=22.5°，
∵CD⊥BD，∠BAC=90°，
∴∠CDB=∠BAC=90°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴弧AD=弧CD，
∴∠DAC=∠DCA=22.5°，
即∠ACD=∠ABF，∠DAC=∠BAF，
在△ABF和△ACD中

∴△ABF≌△ACD，
∴CD=BF=BE，
即BE=2CD，∴①正確；
∵∠ABF=∠BAF=22.5°，
∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=45°，
∵∠BAF=DAC=22.5°，∠BAC=90°
∴∠FAD=∠FAE+∠DAC=∠FAE+∠BAF=∠BAC=90°，
∴∠ADB=180°-90°-45°=45°，∴②正確；
∵AB≠BC，BD平分∠ABC，
∴AE≠CE，
∵AT⊥BE，∠AFE=45°，
∴∠FAT=45°，
∴∠TAE=90°-45°-22.5°=22.5°=∠DCA，
∵∠AET=∠DEC，
∴△DCE∽△TAE，
∴=，
∵AE≠CE，
∴DE≠ET，∴③錯(cuò)誤；
∵AT=TF，
∴AT+TE=TF+TE=EF=BE，∴④正確；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，難度偏大．