Question

已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=4，∠B=60°，AC為∠DCB的平分線，E是AB的中點(diǎn)，DF是梯形的高，S_ABCD=________；若在直線AC上找一點(diǎn)M，使EM+FM的值最小，則其最小值=________．

Answer 1

12    6
分析：已知等腰梯形ABCD中∠B=60°，則∠BCD=60°，AC為∠DCB的平分線，易求得∠DAC=∠DCA，故DC=DA=4，在Rt△CDF中，易求得DF，F(xiàn)C，進(jìn)而利用梯形的面積公式求值即可；作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接EN，與AC交于點(diǎn)M，易證EN為梯形的中位線，求得EN即可．
解答：解：過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，
在等腰梯形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=60°，∠BAD=∠CDA=120°，
∵AC為∠DCB的平分線，
∴∠DAC=∠DCA=∠BCA=∠FDC=30°，
∴DC=DA=4，
在Rt△CDF中，F(xiàn)C=2，DF=2，
同理得，BG=2，
∴GF=4，BC=8，
∴S_ABCD=×（4+8）×2=12；
作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接EN，與AC交于點(diǎn)M，
∵AC為∠DCB的平分線，
∴點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，
又∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EN是等腰梯形的中位線，
∴EM+FM=EN=×（4+8）=6．
故答案為12；6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)的應(yīng)用、最短路線問題，在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．