【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=4,M是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(可以運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A和點(diǎn)B),連接EM并延長交線段CD的延長線于點(diǎn)F.
(1) 如圖1,①求證:AE=DF; ②若EM=3,∠FEA=45°,過點(diǎn)M作MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G,請直接寫出△GEF的的形狀,并求出點(diǎn)F到AB邊的距離;
(2)改變平行四邊形ABCD中∠B的度數(shù),當(dāng)∠B=90°時(shí),可得到矩形ABCD(如圖2),請判斷△GEF的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,取MG中點(diǎn)P,連接EP,點(diǎn)P隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過程中,請直接寫出△EPG的面積S的范圍.
【答案】(1)FH=3; (2)等腰直角三角形,證明詳見解析; (3) 1≤S≤2.
【解析】試題分析:
(1)①由已知條件易證△AME≌△DMF,從而可得AE=DF,ME=MF;②由ME=MF結(jié)合MG⊥EF于點(diǎn)M可得GE=GF,即可得到△GEF是等腰三角形;過點(diǎn)F作FN⊥BA的延長線于點(diǎn)N,結(jié)合∠FEA=45°可得△FEN是等腰直角三角形,即可由ME的長度求得FN的長度;
(2)過點(diǎn)G作GH⊥AD于點(diǎn)H,結(jié)合已知條件易證△AME≌△HGM,從而可得ME=MG,由此即可得到∠MEG=45°,結(jié)合(1)中所得可知△GEF是等腰三角形,由此可得△GEF此時(shí)是等腰直角三角形;
(3)由已知可得S=S△GME,由(2)可知△GME是等腰直角三角形,其面積為ME2,則由此可得S=ME2,結(jié)合在Rt△AME中,ME的長度隨AE的長度的增大而增大即可求出S的取值范圍了.
試題解析:
(1)①∵在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,
∴∠EAM=∠FDM,∠AEM=∠DFM,
∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),
∴AM=DM,
∴△AME≌△DMF,
∴AE=DF;
②∵△AME≌△DMF,
∴ME=MF,
又∵M(jìn)G⊥EF于點(diǎn)M,
∴MG是EF的垂直平分線,
∴GE=GF,
∴△GEF是等腰三角形;
過點(diǎn)F作FN⊥BA的延長線于點(diǎn)N,則∠FNE=90°,
∵∠AEF=45°,EM=3,
∴△EFN是等腰直角三角形,EF=6,
∴FN=,即點(diǎn)F到AB的距離為;
(2)和(1)同理可得△GEF是等腰三角形,過點(diǎn)G作GH⊥AD于點(diǎn)H,
又∵四邊形ABCD是矩形,GM⊥EF于點(diǎn)M,
∴∠GHA=∠GME=∠A=∠B=90°,
∴四邊形ABGH是矩形,∠AME+∠GMH=90°,∠HGM+∠MGH=90°,
∴GH=AB=2,∠AME=∠HGM,
又∵AM=AD=2,
∴AM=GH,
∴△AME≌△HGM,
∴ME=GM,
∴△MGE是等腰直角三角形,
∴∠MEG=45°,
又∵GE=GF,
∴∠FGE=∠MEG=45°,
∴∠EGF=180°-45°-45°=90°,
∴△GEF是等腰直角三角形;
(3)如圖3,由(2)可知△GEM是等腰直角三角形,
∴S△GME=EM2,
又∵點(diǎn)P是GM的中點(diǎn),
∴S=S△GME= EM2=EM2,
∵在Rt△AME中,當(dāng)AE=0時(shí),ME最小=AM=2;當(dāng)AE=AB=2時(shí),ME最大=,
∴S最小=EM2=1,S最大=EM2=2,
∴S的取值范圍為: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋,例如:圖A可以用來解釋,實(shí)際上利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對某些二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.
(1)圖B可以解釋的代數(shù)恒等式是 ;
(2)現(xiàn)有足夠多的正方形和矩形卡片(如圖C),試畫出一個(gè)用若干張1號(hào)卡片、2號(hào)卡片和3號(hào)卡片拼成的矩形(每兩塊紙片之間既不重疊,也無空隙,拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡),使該矩形的面積為,并利用你所畫的圖形面積對進(jìn)行因式分解.
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【題目】如圖,直線y=﹣2x+4交y軸于點(diǎn)A,交拋物線 于點(diǎn)B(3,﹣2),拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(﹣1,0),交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),作PE⊥DB交DB所在直線于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時(shí),求出PE的長及P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接PB,將△PBE沿直線AB翻折,直接寫出翻折點(diǎn)后E的對稱點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示是一個(gè)正比例函數(shù)與一個(gè)一次函數(shù)的圖象,它們交于點(diǎn)A (4,3),一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B,且OA=OB.
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)x取何值時(shí),一次函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△DAC和△EBC均是等邊三角形,AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N,有如下結(jié)論:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠DAE=∠DBC.其中正確的有( )
A. ②④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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【題目】要了解全校學(xué)生的課外作業(yè)負(fù)擔(dān)情況,以下抽樣方法中比較合理的是( )
A.調(diào)查全體女生的作業(yè)B.調(diào)查全體男生的作業(yè)
C.調(diào)查九年級(jí)全體學(xué)生的作業(yè)D.調(diào)查七、八、九年級(jí)各 100 名學(xué)生 的作業(yè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小凡與小光從學(xué)校出發(fā)到距學(xué)校5千米的圖書館看書,小光直接去圖書館, 小凡途中從路邊超市買了一些學(xué)習(xí)用品,如圖反應(yīng)了他們倆人離開學(xué)校的路程s(千米)與時(shí)間t(分鐘)的關(guān)系,請根據(jù)圖象提供的信息回答問題:
(1) 是描述小凡的運(yùn)動(dòng)過程(填或);
(2)小凡和小光先出發(fā)的是 ,先出發(fā)了 分鐘;
(3)小凡與小光先到達(dá)圖書館的是 ,先到了 分鐘;
(4)求小凡與小光從學(xué)校到圖書館的平均速度各是多少?(不包括中間停留的時(shí)間)
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,邊長為6的正方形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸和y軸的正半軸上,直線y=mx+2與OC,BC兩邊分別相交于點(diǎn)D,G,以DG為邊作菱形DEFG,頂點(diǎn)E在OA邊上.
(1)如圖1,頂點(diǎn)F在邊AB上,當(dāng)CG=OD時(shí),
求m的值;
菱形DEFG是正方形嗎?如果是請給予證明.
(2)如圖2,連接BF,設(shè)CG=a,△FBG的面積為S,求S與a的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖3,連接GE,當(dāng)GD平分∠CGE時(shí),請直接寫出m的值.
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