Question

【題目】如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4-x于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=-x2+x，（2）或或m=．

【解析】

試題分析：（1）先確定出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，

（2）根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)N坐標(biāo)，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形只要AC=MN，用它建立方程求出m即可．

試題解析：（1）∵過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4-x于C、D兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)C（1，3），D（3，1），

∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)，

∴c=0，a+b=3，9a+3b=1．

∴a=-，b=，c=0，

∴拋物線解析式為y=-x2+x，

（2）∵A（1，0），C（3.0），

∴AC=3，

∵AC⊥x軸，MN⊥x軸，

∴AC∥MN，

∵以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

∴AC=MN，

∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，1），

∴直線OD解析式為y=x，

∵點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動點(diǎn)，

∴設(shè)M（m，m），

∴N（m，-m2+m），

∴MN=|-m2+m-m|=|4m2-12m|，

∵AC=MN，

∴|4m2-12m|=3，

∴|4m2-12m|=9，

①當(dāng)4m2-12m＞0時(shí)，即m＜0，或m＞4，

∴4m2-12m=9，

∴m=，

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或，

②當(dāng)4m2-12m＜0時(shí)，即0＜m＜4，

∴4m2-12m=-9，

∴m=，

即：存在符合條件的點(diǎn)M，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或或m=．