Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(OB＜OC)是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

(1)求A、B、C三點的坐標；

(2)求此拋物線的表達式；

(3)連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點(與點A、點B不重合)，過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

(4)在(3)的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8……………1分 　　∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC 　　∴點B的坐標為(2，0)，點C的坐標為(0，8) 　　又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2 　　∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為(－6，0)…………………4分 　　(2)∵點C(0，8)在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上 　　∴c＝8，將A(－6，0)、B(2，0)代入表達式，得解得 　　∴所求拋物線的表達式為y＝－x2－x＋8………………7分 　　(3)依題意，AE＝m，則BE＝8－m， 　　∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 　　∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC 　　∴＝即＝ 　　∴EF＝ 　　過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 　　∴＝∴FG＝·＝8－m 　　∴S＝S△BCE－S△BFE＝(8－m)×8－(8－m)(8－m) 　�。�(8－m)(8－8＋m)＝(8－m)m＝－m2＋4m………………………10分 　　自變量m的取值范圍是0＜m＜8…………………………………11分 　　(4)存在． 　　理由：∵S＝－m2＋4m＝－(m－4)2＋8且－＜0， 　　∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8…………………………………12分 　　∵m＝4，∴點E的坐標為(－2，0) 　　∴△BCE為等腰三角形．……………………14分