如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.點P從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿AB向終點B運動;點Q從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD、DA向終點A運動(P、Q兩點中,有一個點運動到終點時,所有運動即終止).設P、Q同時出發(fā)并運動了t秒.
(1)當PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時,求t的值;
(2)試問是否存在這樣的t,使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半?若存精英家教網(wǎng)在,求出這樣的t的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)可通過構建直角三角形來求解.過D作DE⊥AB于E,過C作CF⊥AB于F,很顯然AE=BF,四邊形DQPE和QCFP是矩形,那么就能用等腰梯形的上下底的差求出AE,BF的長,然后可用時間表示出CQ,DQ,AP的長,由于DQ=EP,因此可用AP=AE+EP求出時間的值.
(2)先要求出梯形的面積,那么求出高就是關鍵,在直角三角形AED中,可用勾股定理求出高,也就求出了四邊形QPBC的面積,由于Q在CD和DA上運動,因此要分Q在CD上,和Q在AD上兩種情況進行討論.
當Q在CD上時,可用時間t表示出CQ和BP的長,然后根據(jù)計算出的高和四邊形CQPB的面積,來求出時間t的值,要注意當Q在CD上時,t應該在0-2秒內(nèi),可用這個取值范圍來判定求出的值是否符合題意.
當Q在AD上時,四邊形QPBC是個不規(guī)則的四邊形,那么根據(jù)他的面積是梯形的一半,那么四邊形QPBC的面積就應該等于三角形CDQ和AQP的面積和,那么就需要作出這兩個三角形的高以便求出面積,過點Q作HG⊥AB于G,交CD的延長線于H.求出QH和QG就是解題的關鍵.
可以用時間t先表示出CQ,AP,然后根據(jù)CD+DQ=CQ進而表示出QD和AQ,那么我們可在直角三角形AQG中根據(jù)∠A的度數(shù)求出QG,然后根據(jù)求出的梯形的高得出QH的值,這樣就能用含t的式子表示出三角形QDC和AQP的面積,也就是四邊形QPBC的面積,根據(jù)求出的四邊形的面積可得出t的值,要注意Q在AD上時,取值范圍是2-4秒,因此可根據(jù)這個取值范圍判定求出的t是否符合題意.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過D作DE⊥AB于E,過C作CF⊥AB于F,如圖1.
∵四邊形ABCD是等腰梯形,
∴四邊形CDEF是矩形,
∴DE=CF.
又∵AD=BC,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF,AE=BF.
又CD=2cm,AB=8cm,
∴EF=CD=2cm,
AE=BF=
1
2
(8-2)=3(cm).
若四邊形APQD是直角梯形,則四邊形DEPQ為矩形.
∵CQ=t,
∴DQ=EP=2-t,
∵AP=AE+EP,
∴2t=3+2-t,
∴t=
5
3


(2)在Rt△ADE中,DE=
36-9
=3
3
(cm),精英家教網(wǎng)
S梯形ABCD=
1
2
(8+2)×3
3
=15
3
(cm2).
當S四邊形PBCQ=
1
2
S梯形ABCD時,
①如圖2,若點Q在CD上,即0≤t<2,
則CQ=t,BP=8-2t.
S四邊形PBCQ=
1
2
(t+8-2t)×3
3
=
15
3
2
,
解之得t=3(舍去).精英家教網(wǎng)
②如圖3,若點Q在AD上,即2≤t<4.
過點Q作HG⊥AB于G,交CD的延長線于H.
由圖1知,sin∠ADE=AE:AD=
1
2
,
∴∠ADE=30°,
則∠A=60度.在Rt△AQG中,AQ=8-t,QG=AQ•sin60°=
3
(8-t)
2
,
在Rt△QDH中,∠QDH=60°,DQ=t-2,QH=DQ•sin60°=
3
(t-2)
2

由題意知,S四邊形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=
1
2
×2t×
3
(8-t)
2
+
1
2
×2×
3
(t-2)
2
=
15
3
2
,
即t2-9t+17=0,解之得t1=
9+
13
2
(不合題意,舍去),t2=
9-
13
2

答:存在t=
9-
13
2
,使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半.
點評:本題要根據(jù)Q點的位置來判斷四邊形CQPB的形狀,進而選擇合適的解題方法.本題中通過輔助線作出梯形的高,構建出直角三角形是解題的關鍵.
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