Question

國(guó)強(qiáng)同學(xué)喜歡用黑色棋子擺放在正多邊形的邊上來研究數(shù)的規(guī)律．請(qǐng)你觀察下面表格中棋子的擺放規(guī)律，并回答下面問題：

三角形				…	第n個(gè) 三角形
棋子個(gè)數(shù)	3	6	9	…	P
正方形				…	第n個(gè) 正方形
棋子個(gè)數(shù)	4	8	12	…	Q
正多邊形					第n個(gè) 正多邊形
棋子個(gè)數(shù)	3	8	15	24	M

（1）通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)可以分別用含字母n（n≥1的整數(shù)）的代數(shù)式表示P、Q、M．
則P=

3n

，Q=

4n

，M=

n（n+2）

．
（2）下列數(shù)中既是三角形中的棋子數(shù)又是正方形中的棋子數(shù)的是

D

．
A.2013    B.2014    C.2015    D.2016．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P、Q的棋子數(shù)的變化特征寫出即可，M的棋子數(shù)等于邊數(shù)乘以每條邊上的棋子數(shù)，根據(jù)頂點(diǎn)處的棋子是公用的棋子，再減去頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得解；
（2）根據(jù)P、Q的表達(dá)式找出是12的倍數(shù)的數(shù)值即可．

解答：解：（1）P第一個(gè)圖形有3個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有6個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有9個(gè)棋子，…，第n個(gè)圖形有3n個(gè)棋子；
Q第一個(gè)圖形有4個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有8個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有12個(gè)棋子，…，第n個(gè)圖形有4n個(gè)棋子，
M第一個(gè)圖形有3個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有8個(gè)棋子，8=（2+1）×（2+2）-（2+2）=4×2，
第三個(gè)圖形有15個(gè)棋子，15=（3+1）×（3+2）-（3+2）=5×3，
第四個(gè)圖形有24個(gè)棋子，24=（4+1）×（4+2）-（4+2），
…，
第n個(gè)圖形有n（n+2）個(gè)棋子；

（2）∵三角形中的棋子數(shù)符合3n，正方形中的棋子數(shù)符合4n，
∴既是三角形中的棋子數(shù)又是正方形中的棋子數(shù)是12的倍數(shù)，
∵2013、2014、2015、2016四個(gè)數(shù)中只有2016是12的倍數(shù)，
∴既是三角形中的棋子數(shù)又是正方形中的棋子數(shù)的是2016．
故答案為：（1）3n，4n，n（n+2）；（2）D．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，難點(diǎn)在于觀察出多邊形時(shí)邊的表示與邊上的棋子的個(gè)數(shù)與多邊形所在圖形序數(shù)的關(guān)系．