Question

觀察式子：
（1）x²-1=（x-1）（x+1），∴

x2-1

x+1

=

x-1

；
（2）x³-1=（x-1）（x²+x+1），∴

x3-1

x2+x+1

=

x-1

；
（3）x³-1=（x-1）（　�。�，∴

x4-1

x3+x2+x+1

=x-1；
（4）猜想：xⁿ-1=（x-1）（　�。�，∴

xn-1

(    )

=x-1．
如果要計算2¹⁰-2⁹+…+1的值，你能用一個兩項式表達2¹⁰-2⁹+…+1的值嗎？

Answer 1

分析：根據(jù)分式的約分得到（1）

x2-1

x+1

=x-1；（2）

x3-1

x2+x+1

=x-1；（3）

x4-1

x3+x2+x+1

=x-1；（4）xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1），∴

xn-1

xn-1+xn-2+…+x+1

=x-1；根據(jù)上面的規(guī)律得到（-2）¹¹-1=[（-2）-1）][（-2）¹⁰+（-2）⁹+…+（-2）+1]=（-3）（2¹⁰-2⁹+…+1），則2¹⁰-2⁹+…+1=

1

3

（2¹¹-1）．

解答：解：（1）x²-1=（x-1）（x+1），∴

x2-1

x+1

=x-1；
（2）x³-1=（x-1）（x²+x+1），∴

x3-1

x2+x+1

=x-1；
（3）x⁴-1=（x-1）（x³+x²+x+1），∴

x4-1

x3+x2+x+1

=x-1；
（4）猜想：xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1），∴

xn-1

xn-1+xn-2+…+x+1

=x-1；　　
當n=11，x¹¹-1=（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1），
令x=-2，則（-2）¹¹-1=[（-2）-1）][（-2）¹⁰+（-2）⁹+…+（-2）+1]=（-3）（2¹⁰-2⁹+…+1），
所以2¹⁰-2⁹+…+1=

(-2)11-1

-3

=

1

3

（2¹¹-1）．
故答案為x-1，x-1．

點評：本題考查了分式的混合運算：先把分式的分子或分母因式分解（有括號，先算括號），再進行分式的乘除運算，然后進行分式的加減運算．