Question

如圖，⊙0是△ABC的外接圓，AD是⊙0的直徑，DE⊥BC于E，AF⊥BC于F．
（1）求證：BE=CF；
（2）作OG⊥BC于G，若DE=BF=3，OG=1，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長DE交⊙0于H，連接AH、BH．則四邊形AHEF為矩形，可證明Rt△BEH≌Rt△CFA，則BE=CF；
（2）連接CD，連接FO并延長交DE于P點(diǎn)．則△AFO≌△DPO，可得出BCD=45°，∠ACB=45°，從而得出AC=．
解答：（1）證明：延長DE交⊙0于H，連接AH、BH．
∵AF⊥BC，DE⊥EC，∠AHE=90°，
∴四邊形AHEF為矩形，
∴AF=EH，AH∥EF，
∴∠HAB=∠ABC，
∴BH=AC，
∴Rt△BEH≌Rt△CFA，
∴BE=CF；

（2）解：連接CD，連接FO并延長交DE于P點(diǎn)．
則△AFO≌△DPO，
∴AF=DP，OF=OP，
∴OG=PE，
∴PE=2，
∴AF=DP=1
∵DE=BF=CE，
∴∠BCD=45°
又∠ACD=90°，∠ACB=45°．
∴AC=
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．