Question

【題目】如圖，正方形ABCD，∠EAF＝45°，當點E，F分別在對角線BD、邊CD上，若FC＝6，則BE的長為_____．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過點E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖）根據圓周角定理得到AF為⊙O直徑，根據正方形的性質得到∠EDF=∠EAF=45°，推出△AEF為等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到AE=CE，得到CM=CF＝3，推出四邊形CMEN是矩形，求得EN=CM=3，于是得到結論．

解：作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過點E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖）

∵∠ADF＝90°，

∴AF為⊙O直徑，

∵BD為正方形ABCD對角線，

∴∠EDF＝∠EAF＝45°，

∴點E在⊙O上，

∴∠AEF＝90°，

∴△AEF為等腰直角三角形，

∴AE＝EF，

在△ABE與△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE，

∴CE＝EF，

∵EM⊥CF，CF＝6，

∴CM＝CF＝3，

∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，

∴四邊形CMEN是矩形，

∴EN＝CM＝3，

∵∠EBN＝45°，

∴BE＝EN＝3，

故答案為3．