Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線(xiàn)段OA的中點(diǎn)，直線(xiàn)AD與經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱(chēng)軸交于M，點(diǎn)P為線(xiàn)段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與F、G不重合)，PQ∥y軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)Q。

  (1)求經(jīng)過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

  (2)判斷⊿BDC的形狀，并給出證明；當(dāng)P在什么位置時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

  (3)若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）B(-1,0) E(0,4) C(4，0)   設(shè)解析式是

可得     解得   （2分）  ∴（1分）

（2）⊿BDC是直角三角形        （1分）

∵BD²=BO²+DO²=5 , DC²=DO²+CO²=20 ,BC²=(BO+CO)²=25

∴BD²+ DC²= BC²                  （1分）

 ∴⊿BDC是Rt⊿

點(diǎn)A坐標(biāo)是（-2,0），點(diǎn)D坐標(biāo)是（0,2）直線(xiàn)AD的解析式是 （1分）

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（x，x+2）

當(dāng)OP=OC時(shí) x²+(x+2)²=16 解得 （不符合，舍去）此時(shí)點(diǎn)P（）

當(dāng)PC=OC時(shí) 方程無(wú)解

當(dāng)PO=PC時(shí)，點(diǎn)P在OC的中垂線(xiàn)上，∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)是2， 得點(diǎn)P坐標(biāo)是（2,4）

∴當(dāng)⊿POC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（）或（2,4） （2分）

（3）       點(diǎn)M坐標(biāo)是（）N坐標(biāo)是（）∴MN=

設(shè)點(diǎn)P 為（x，x+2）Q(x,-x²+3x+4),則PQ=

①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x₁=0.5 x₂=1.5

當(dāng)x₂=1.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；當(dāng)x₁=0.5時(shí)，可求得PM=，所以菱形不存在（2分）

②能成為等腰梯形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2.5,4.5）（2分）