Question

已知關于x的二次函數(shù)y=x²﹣2mx+m²+m的圖象與關于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）

（1）當k=1，m=0，1時，求AB的長；

（2）當k=1，m為任何值時，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想．

（3）當m=0，無論k為何值時，猜想△AOB的形狀．證明你的猜想．

（平面內兩點間的距離公式）．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）先將k=1，m=0分別代入，得出二次函數(shù)的解析式為y=x²，直線的解析式為y=x+1，聯(lián)立，得x²﹣x﹣1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C，證明△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得出AB=AC，根據(jù)兩點間距離公式及完全平方公式求出AB=；同理，當k=1，m=1時，AB=；

（2）當k=1，m為任何值時，聯(lián)立，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1，同（1）可求出AB=；

（3）當m=0，k為任意常數(shù)時，分三種情況討論：①當k=0時，由，得A（﹣1，1），B（1，1），顯然△AOB為直角三角形；②當k=1時，聯(lián)立，得x²﹣x﹣1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，同（1）求出AB=，則AB²=10，運用兩點間的距離公式及完全平方公式求出OA²+OB²=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形；③當k為任意實數(shù)時，聯(lián)立，得x²﹣kx﹣1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1，根據(jù)兩點間距離公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形．

解答：

解：（1）當k=1，m=0時，如圖．

由得x²﹣x﹣1=0，

∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，

過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C．

∵直線AB的解析式為y=x+1，

∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=|x₂﹣x₁|==；

同理，當k=1，m=1時，AB=；

（2）猜想：當k=1，m為任何值時，AB的長不變，即AB=．理由如下：

由，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，

∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1，

∴AB=AC=|x₂﹣x₁|==；

（3）當m=0，k為任意常數(shù)時，△AOB為直角三角形，理由如下：

①當k=0時，則函數(shù)的圖象為直線y=1，

由，得A（﹣1，1），B（1，1），

顯然△AOB為直角三角形；

②當k=1時，則一次函數(shù)為直線y=x+1，

由，得x²﹣x﹣1=0，

∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，

∴AB=AC=|x₂﹣x₁|==，

∴AB²=10，

∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²

=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²

=x₁²+x₂²+（x₁+1）²+（x₂+1）²

=x₁²+x₂²+（x₁²+2x₁+1）+（x₂²+2x₂+1）

=2（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+2

=2（1+2）+2×1+2

=10，

∴AB²=OA²+OB²，

∴△AOB是直角三角形；

③當k為任意實數(shù)，△AOB仍為直角三角形．

由，得x²﹣kx﹣1=0，

∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1，

∴AB²=（x₁﹣x₂）²+（y₁﹣y₂）²

=（x₁﹣x₂）²+（kx₁﹣kx₂）²

=（1+k²）（x₁﹣x₂）²

=（1+k²）[（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂]

=（1+k²）（4+k²）

=k⁴+5k²+4，

∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²

=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²

=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²

=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）

=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2

=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2

=k⁴+5k²+4，

∴AB²=OA²+OB²，

∴△AOB為直角三角形．

點評：

本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有一元二次方程根與系數(shù)的關系，平面內兩點間的距離公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定難度．本題對式子的變形能力要求較高，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想．