Question

如圖，已知以點(diǎn)A（2，-1）為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0）．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作直線(xiàn)y=-2的垂線(xiàn)，垂足為N．
①探索、猜想線(xiàn)段EN與ED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)E使△EDN為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
提示：拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A（2，-1）且過(guò)點(diǎn)B（4，0），∴y=a（x-2）²-1，
且0=4a-1，∴
∴拋物線(xiàn)的解析式為

（2）①猜想：DE=NE
證明：∵點(diǎn)D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，
∴得D（2，0）
當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，
∵D（2，0），B（4，0），
∴ED=2，
∵過(guò)E作直線(xiàn)y=-2的垂線(xiàn)，垂足為N
∴EN=2，
∴DE=EN
當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)，
∵D（2，0），
DE=2，EN=2，
∴DE=EN
當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，
∵A（2，-1），EN=2
∴DE=1，EN=1，
∴DE=EN
當(dāng)點(diǎn)E不與B、O、A重合時(shí)，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，EN交x軸于點(diǎn)F，
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（x-2）²+y²
又∵NE=y+2，∴=y²+x²-4x+4=（x-2）²+y²∴DE=NE
綜上所述，DE=NE

②答：存在
當(dāng)點(diǎn)E在x軸上時(shí)△EDN為直角三角形，點(diǎn)E在x軸下方時(shí)△EDN為鈍角三角形，所以只當(dāng)E在x軸上方時(shí)△EDN才可能為等邊三角形（注意：未作上述說(shuō)明不扣分！）
理由一：若△EDN為等邊三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸，
∴EF=FN=2，∴
解得　
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為
理由二：若△EDN為等邊三角形，∵DE=NE=DN，且EN⊥x軸，
∴∠EFD=30°，EF=FN=2
在Rt△DEF中，，
∴
∵DA是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，且D（2，0），
∴根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)E的坐標(biāo)為
分析：（1）設(shè)出拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=a（x-h）²+k，依據(jù)它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和所經(jīng)過(guò)的B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出拋物線(xiàn)的性質(zhì)，
（2）①根據(jù)已知，很容易就可以得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，E點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E不與B、O、A重合時(shí)，結(jié)合拋物線(xiàn)解析式，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)勾股定理，求出DE關(guān)于x、y的表達(dá)式，然后，根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)和N點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求出EN關(guān)于x、y的表達(dá)式，即可看出它們相等，
②提出假設(shè)，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)求證相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可得知相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，即可求證E點(diǎn)的坐標(biāo)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定，根據(jù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法