Question

順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所圍成的是正方形，則四邊形ABCD的對(duì)角線

1. A.
   互相垂直
2. B.
   互相平分
3. C.
   相等
4. D.
   相等且互相垂直

Answer 1

D
分析：由于四邊形EFGI是正方形，那么∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，而G、F是AD、CD中點(diǎn)，易知GF是△ACD的中位線，于是GF∥AC，GF=AC，同理可得IG∥BD，IG=BD，易求AC=BD，又由于GF∥AC，∠IGF=90°，利用平行線性質(zhì)可得∠IHO=90°，而IG∥BD，易證∠BOC=90°，即AC⊥BD，從而可證四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直且相等．
解答：解：如右圖所示，四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)分別是I、E、F、G，且四邊形EFGI是正方形，
∵四邊形EFGI是正方形，
∴∠IGF=90°，IE=EF=FG=IG，
又∵G、F是AD、CD中點(diǎn)，
∴GF是△ACD的中位線，
∴GF∥AC，GF=AC，
同理有IG∥BD，IG=BD，
∴AC=BD，
即AC=BD，
∵GF∥AC，∠IGF=90°，
∴∠IHO=90°，
又∵IG∥BD，
∴∠BOC=90°，
即AC⊥BD，
故四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直且相等．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接AC、BD，構(gòu)造平行線．