已知拋物線y=mx2+(3-m)x+m2+m交x軸于C(x1,0),D(x2,0)兩點(diǎn),(x1<x2)且x1x2+x1+x2=4,M為頂點(diǎn).
(1)試確定m的值;
(2)設(shè)點(diǎn)P(a,b)是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個(gè)動點(diǎn)(含C、M點(diǎn)),△POQ是以PO為腰、底邊OQ在x軸上的等腰三角形,過點(diǎn)Q作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R,其中A(-1,-5),連接PR.設(shè)△PQR的面積為S,求S與a之間的函數(shù)關(guān)系式.
分析:(1)用m表示出二次函數(shù)兩個(gè)根的和、積,代入等式x1x2+x1+x2=4,并結(jié)合△=(3-m)2-4m(m2+m)>0,解出即可;
(2)由拋物線的解析式得出頂點(diǎn)坐標(biāo),利用A,M坐標(biāo),用待定系數(shù)法可求出直線的解析式,點(diǎn)P(a,b),根據(jù)題意得,Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2a,0),由直線的解析式得,點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2a,6a-2),過點(diǎn)P作PN⊥RQ于點(diǎn)N,則RQ=|6a-2|,PN=|a|,所以,S=
1
2
RQ•PN=
1
2
|6a-2||a|,分類討論解答出即可.
解答:解:(1)因?yàn)閽佄锞y=mx2+(3-m)x+m2+m交x軸于C(x1,0),D(x2,0)兩點(diǎn)(x1<x2)且x1x2+x1+x2=4,
∴m≠0
∵x1+x2=
m-3
m
,x1x2=
m2+m
m
,且△=(3-m)2-4m(m2+m)>0,
又∵x1x2+x1+x2=4,
m2+m
m
+
m-3
m
=4,
解得m=-1,或m=3,而m=3使△<0,不合題意,故舍去,
∴m=-1;

(2)由(1)知拋物線的解析式為y=-x2+4x,
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),如圖,
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b,
∵A(-1,-5),
則有
-5=-k+b
4=2k+b

解得
k=3
b=-2
,
∴y=3x-2,
依題意,點(diǎn)P(a,b)是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個(gè)動點(diǎn),
∴0<a≤2,
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2a,0),
由(2)知直線AM為y=3x-2,
∴當(dāng)x=2a時(shí),y=6a-2,
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2a,6a-2),
過點(diǎn)P作PN⊥RQ于點(diǎn)N,
∵RQ=|6a-2|,PN=|a|,
∴S=
1
2
RQ•PN=
1
2
|6a-2|•|a|,
當(dāng)0<a<
1
3
時(shí),S=
1
2
(2-6a)•a=-3a2+a,
當(dāng)a=
1
3
時(shí),△PQR不存在;
當(dāng)
1
3
<a≤2時(shí),S=
1
2
(6a-2)•a=3a2-a.
點(diǎn)評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、解析式和三角形的面積求法等;在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意、分情況討論結(jié)果.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=mx2-(m-5)x-5(m>0),與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),(x1<x2),與y軸交于點(diǎn)C且AB=6.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若⊙M過A、B、C三點(diǎn),求⊙M的半徑,并求M到直線BC的距離;
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,使△PBQ被直線BC分成面積相等的兩部分,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=mx2+nx+p與y=x2+6x+5關(guān)于y軸對稱,與y軸交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)A和B.
(1)y=mx2+nx+p的解析式為
 
,試猜想出與一般形式拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式為
 

(2)A,B的中點(diǎn)是點(diǎn)C,則sin∠CMB=
 

(3)如果過點(diǎn)M的一條直線與y=mx2+nx+p圖象相交于另一精英家教網(wǎng)點(diǎn)N(a,b),a,b滿足a2-a+m=0,b2-b+m=0,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖已知拋物線y=mx2+nx+p與y=x2+6x+5關(guān)于y軸對稱,并與y軸交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)A和B.
(1)求出y=mx2+nx+p的解析式,試猜想出一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式(不要求證明);
(2)若AB中點(diǎn)是C,求sin∠CMB;
(3)如果一次函數(shù)y=kx+b過點(diǎn)M,且于y=mx2+nx+p相交于另一點(diǎn)N(i,j),如果i≠j,且i2-i+z=0和j2-j+z=0,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=mx2+nx+p與y=x2+6x+5關(guān)于y軸對稱,并與y軸交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)A和B.
(1)求出y=mx2+nx+p的解析式,試猜想出一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式(不要求證明);
(2)若AB的中點(diǎn)是C,求sin∠CMB;
(3)如果一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)過點(diǎn)M,且與拋物線y=mx2+nx+p,相交于另一點(diǎn)N(i,j),如果i≠j,且i2-j2-i+j=0,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1998•天津)已知拋物線y=mx2-(3m+
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)x+4
與x軸交于兩點(diǎn)A、B,與y軸交于C點(diǎn),若△ABC是等腰三角形,求拋物線的解析式.

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