Question

如圖，已知直線過(guò)點(diǎn)和，是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）直接寫出直線的解析式；

（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)時(shí)，的最大值；

（3）直線過(guò)點(diǎn)且與軸平行，問在上是否存在點(diǎn)， 使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）

（2）∵，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

①當(dāng)，即時(shí)，，

∴．

②當(dāng)時(shí)，，

∴．

∴

當(dāng)，即時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，所以，又軸，則，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得．

下證．連，則四邊形是正方形．     

法一：（i）當(dāng)點(diǎn)在線段上，在線段上

（與不重合）時(shí)，如圖1．

 

由對(duì)稱性，得，

∴ ，

∴ ．

（ii）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，在線段上時(shí)，如圖2，如圖3

∵，     ∴．  

（iii）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，顯然．

綜合（i）（ii）（iii），．

∴在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

 

法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，所以，又軸， 則，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得．

延長(zhǎng)與交于點(diǎn)．

（i）如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段上（與不重合）時(shí)，

∵四邊形是正方形，       

∴四邊形和四邊形都是矩形，和都是等腰直角三角形．

∴．  

又∵，        ∴，    

 ∴，

∴，

又∵，

∴．

  ∴．

（ii）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，顯然．            

（iii）在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5， 

∵，∠1=∠2

 ∴

綜合（i）（ii）（iii），．

∴在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形． 

 

法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，所以，又軸，

 則，O兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，得．     

連，∵，，，

∴，

．

∴，∴．

∴在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．