Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，在四邊形BDEC中，DB=DE，∠BDE=2α，M為CE的中點，連接AM，DM．
（1）在圖中畫出△DEM關于點M成中心對稱的圖形；
（2）求證：AM⊥DM；
（3）當α=______，AM=DM．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長DM到N，使MN=DM，連接CM即可；
（2）連接AD，AN，利用所給條件證明AD和AN所在的三角形全等，進而得到AD=AN，那么利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到所求；
（3）利用△ADM為等腰直角三角形作答即可．
解答：解：（1）所畫圖形如下所示：

（2）連接AD，AN．
∵DM=MN，CM=ME，
∴四邊形DENC是平行四邊形，
∴CN∥DE，CN=DE，
∴∠E=∠NCM，
∵DB=DE，
∴BD=CN，
∵∠CBD+∠BDE+∠E+∠BCE=360°，
∠ACB+∠BCE+∠NCE+∠ACN=360°，
∴∠CBD+∠BDE=∠ACB+∠ACN
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠BDE=2α，
∴∠CBD+2α=α+∠ACN，
∴∠CBD+α=∠ACN．
∵∠ABC=α，
∴∠ABD=∠ACN，
∴△ABD≌△ACN，
∴AD=AN，
∴AM⊥DM；

（3）△ADM為等腰直角三角形，
如果AM=DM，則∠ADM=45°，∠AMD=90°．
∵∠DAC+∠CAN=90°，∠CAN=∠BAD，
∴∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰RT△．
∴α=45°．
點評：綜合考查了學生對中心對稱作圖的掌握，以及三角形全等、等腰三角形的三線合一及四邊形內(nèi)角和定理等知識點．