Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，M為

AC

上一點(diǎn)，AM和DC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠AMD=∠FMC；
（2）若AE：EB=9：1，CD=6，求直徑AB長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,垂徑定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)BC，如圖，根據(jù)垂徑定理由CD⊥AB得到

AC

=

AD

，再根據(jù)圓周角定理得到∠AMD=∠ABC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠FMC=∠ABC，然后等量代換即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)OD，設(shè)BE=x，則AE=9x，則AB=10x，可表示出OD=5x，OE=4x，再利用勾股定理計(jì)算出DE=3x，然后根據(jù)垂徑定理得到DE=

1

2

CD=3，則有3x=3，解得x=1，易的AB=10．

解答：（1）證明：連結(jié)BC，如圖，
∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠AMD=∠ABC，
∵∠FMC=∠ABC，
∴∠AMD=∠FMC；

（2）解：連結(jié)OD，設(shè)BE=x，則AE=9x，
∴AB=10x，
∴OD=OB=5x，
∴OE=OB-BE=4x，
在Rt△OED中，DE=

OD2-OE2

=3x，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=3，
∴3x=3，解得x=1，
∴AB=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理、勾股定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．