Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖）．
（1）寫出A，B，C，D及AD的中點E的坐標；
（2）求以E為頂點、對稱軸平行于y軸，并且經過點B，C的拋物線的解析式；
（3）求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標；
（4）△PEB的面積S_△PEB與△PBC的面積S_△PBC具有怎樣的關系？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知AB=2就可以得到A，B的坐標，C、D與A、B的縱坐標分別相等，而已知AD=4就可以求出C、D、E的橫坐標．
（2）已知拋物線的頂點，就可以設函數的一般形式，設頂點式，然后把C點的坐標，就可以求出函數的解析式．
（3）求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標，可以先求出直線BD的解析式，然后解由BD以及拋物線的解析式組成的方程組．
（4）△PBC中BC已知，BC邊上的高就是P點的縱坐標的絕對值，因而面積可以很容易得到．
過P，E分別作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分別為P′，E′，設拋物線與x軸左邊的交點是F，△PEB的面積就是△EFP與△EFB的面積的和．
解答：解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）．

（2）設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+1
∵拋物線經過點B（0，-1）
∴a（0-2）²+1=-1
解得a=-∴拋物線的解析式為：y=-（x-2）²+1
經驗證，拋物線y=-（x-2）²+1經過點C（4，-1）

（3）直線BD的解析式為：y=x-1
解方程組
得點P的坐標：P（3，）．

（4）S_△PEB=S_△PBC=×4×=3
過P，E分別作PP'⊥BC，EE'⊥BC，垂足分別為P'，E'
S_△PEB=×2×2+×（+2）×1-×3×
∴S_△PEB=S_△PBC
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及函數交點坐標的求法，求三角形的面積利用數形結合比較容易理解．