已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如圖1,若∠DAC=2∠ABC,△ACB≌△DAC,則∠ABC=
45
45
°;
(2)如圖2,若∠ABC=30°,△ACD是等邊三角形,AB=3,BC=4.求BD的長(zhǎng).
分析:(1)由AC=AD得∠D=∠ACD,根據(jù)△ACB≌△DAC,可得∠ACB=2∠ABC,在△ABC中,由內(nèi)角和定理求解;
(2)如圖2,在△ABC外作等邊△BAE,連接CE,利用旋轉(zhuǎn)法證明△EAC≌△BAD,可證∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE.
解答:解:(1)∵AC=AD,
∴∠D=∠ACD,
∵△ACB≌△DAC,
∴∠DAC=∠ACB,∠B=∠BAC,
∵∠DAC=2∠ABC,
∴∠ACB═2∠ABC,
∴∠ABC=45°;…(2分)

(2)如圖,以A為頂點(diǎn)AB為邊在△ABC外作∠BAE=60°,
并在AE上取AE=AB,連接BE和CE.
∵△ACD是等邊三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°.
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.即∠EAC=∠BAD.
∴△EAC≌△BAD.…(3分)
∴EC=BD.
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,
∴△AEB是等邊三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3.…(4分)
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5…(5分)
∴BD=5.…(6分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造全等三角形.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

25、已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如圖1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,則∠ABC=
45°
;
(2)如圖2,若∠ABC=30°,△ACD是等邊三角形,AB=3,BC=4.求BD的長(zhǎng);
(3)如圖3,若∠ACD為銳角,作AH⊥BC于H.當(dāng)BD2=4AH2+BC2時(shí),∠DAC=2∠ABC是否成立?若不成立,請(qǐng)說明你的理由;若成立,證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如圖1,若AB=AE,∠DAC=∠EAB=60°,則∠BFC=
120°
120°
;
(2)如圖2,若∠ABC=30°,△ACD是等邊三角形,BC=4,AB=3.求BD的長(zhǎng);
(3)如圖3,若∠ACD為銳角,作AH⊥BC于H,當(dāng)BD2=4AH2+BC2時(shí),判定∠DAC與∠ABC的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•順義區(qū)一模)如圖,已知△ABC,以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E為
AD
的中點(diǎn),連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F,且BF=BC.
(1)判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若⊙O的半徑為2,cosB=
3
5
,求CE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如圖1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,AD∥BC,則∠ABC=
45°
45°
;
(2)如圖2,以A為頂點(diǎn)AB為邊在△ABC外作∠BAM=60°,若∠ABC=30°,△ACD是等邊三角形,AB=3,BC=4.求BD的長(zhǎng).

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