Question

如圖，射線OA⊥射線OB，半徑r＝2 cm的動(dòng)圓M與OB相切于點(diǎn)Q(圓M與OA沒(méi)有公共點(diǎn))，P是OA上的動(dòng)點(diǎn)，且PM＝3 cm，設(shè)OP＝x cm，OQ＝y(tǒng) cm．

(1)求x、y所滿足的關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．

(2)當(dāng)△MOP為等腰三角形時(shí)，求相應(yīng)的x的值．

(3)是否存在大于2的實(shí)數(shù)x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相應(yīng)x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OA，垂足為D，顯然ODMQ為矩形， 　　∴OD＝MQ＝2，MD＝OQ＝y，∴PD＝x－2．在Rt△MDP中，y2＋(x－2)2＝32， 　　∴x2－4x＋y2＝5．∴x取值范圍為2＜x≤2　　(4分) 　　(2)若△MOP為等腰三角形，①若OM＝MP，此時(shí)x＝4； 　　②若MP＝OP時(shí)，x＝3；③若OM＝OP時(shí)，∵OM＝4＋y2，∴4＋y2＝x2，于是 　　解得x＝　　(8分) 　　(3)分三種情況依次討論： 　�、偌僭O(shè)兩三角形相似，若∠OPM＝90°，則MP＝y(tǒng)，OP＝2＝x，得x＝2，不是大于2的實(shí)數(shù)，故∠OPM不可能是90°； 　�、谌簟螹OP＝90°，由于圓M在第一象限，所以這不可能． 　　③假設(shè)△QMO∽△MOP，此時(shí)∠OMP＝90°，則，∴＝＝． 　　得4＋y2＝2x，于是　得x＝1＋． 　　∴存在這樣的實(shí)數(shù)x，并且x＝1＋　　(12分)