Question

（1）如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，試說明AB與CD的位置關系，并予以證明；
（2）如圖2，在（1）的條件下，AB的下方兩點E，F(xiàn)滿足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)；
（3）如圖3，在前面的條件下，若P是BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列結論：①∠DGP-∠MGN的值不變；②∠MGN的度數(shù)不變．可以證明，只有一個是正確的，請你作出正確的選擇并求值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)內錯角相等，兩直線平行證明即可；
（2）設∠ABF=x，則∠ABE=3x，根據(jù)三角形內角和定理整理得到∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等以及角平分線的定義表示出∠ECF=

1

2

∠1，然后整理得到∠E、∠F的關系式，再根據(jù)∠F與∠E的補角的關系列出等式，然后整理即可求出x，從而得解；
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義表示出∠MGP、∠DPQ，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN=

1

2

∠B，從而判定②正確．

解答：（1）答：AB∥CD．
證明：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD；

（2）解：設∠ABF=x，則∠EBF=2x，
∴∠ABE=∠ABF+∠EBF=x+2x=3x，
根據(jù)三角形的內角和定理可得，∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，
根據(jù)三角形的外角性質，∠1=∠E+∠ABE=∠E+3x，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DCE，
∵CF平分∠DCE，
∴∠ECF=

1

2

∠DCE=

1

2

∠1=

1

2

（∠E+3x），
∴∠E+2x=∠F+

1

2

（∠E+3x），
整理得，2∠F-∠E=x①，
∵∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，
∴2∠F+180°-∠E=190°②，
①代入②得，x+180°=190°，
∴x=10°，
∴∠ABE=3x=30°；

（3）解：如圖，根據(jù)三角形的外角性質，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=

1

2

∠BPG，∠MGP=

1

2

∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=

1

2

（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=

1

2

∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=

1

2

（∠BPG+∠B）-

1

2

∠BPG=

1

2

∠B，
根據(jù)前面的條件，∠B=30°，
∴∠MGN=

1

2

×30°=15°，
∴①∠DGP-∠MGN的值隨∠DGP的變化而變化；②∠MGN的度數(shù)為15°不變．

點評：本題考查了平行線的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，綜合性較強，難度較大，仔細分析圖形，理清各角度之間的關系是解題的關鍵，也是本題的難點．